羞明が強くなくても、暗い所から明るい所へ出た時に眩しくて、眼の痛みを感じると思います。
この時、私が感じる痛みの場所は、上瞼です。
朝起きてすぐに眼が沁みると感じる時は、前日の洗顔がおろそかだったり、夜中に暑くて汗をかいている時に多い感じがします。
眼科での検査で、その時は平気でも、次の日に眼が痛かったり重かったりすることがあります。

私は医師ではないですが、もしかすると、関係しているかも知れないと思い、書きますね。
眼痛ではないですが、「寒冷刺激による頭痛（アイスクリーム頭痛）」と呼ばれるものがあります。
冷たい物の刺激で三叉神経が刺激を受けると、脳が痛みとして感じるそうです。
眩しい時に眼が痛く感じる神経も三叉神経なので、そのあたりが関係しているかも知れないですね。

羞明を伴う痛みのパターンは様々で、眼科学としても明確な原因が分からないことも多いです。

私は症状が同じ痛みの範疇で、その痛みの範囲が近接していても、
刺激や部位などの詳細が異なる場合は
原因が異なる可能性もあると考えています。

lemonさんのお子様の
「冷たいものを食べると瞼が痛い」と
「朝起きてすぐに目が沁みる」は
刺激の種類と症状も異なっています。
そのため、もしかしたら原因も異なるのかもしれません。

「冷たいものを食べると瞼が痛い」についてはsawa-jさんが書かれているように、
冷たい食べ物などは血管を収縮させるため、三叉神経などが関わっているのかもしれません。

一般的に神経と血管は並走していることが多いです。
その為、血管が神経を物理的に圧迫することで、
神経に影響を及ぼし様々な症状がでることがあります。

特に顔面は感覚器が多いため神経と血管が密集していますが、
骨で覆われている領域も多いため、三叉神経痛に代表されるように
僅かな血管の変化が問題になりやすいです。

顔面の各神経による症状などがまとめられたHPがありましたので、
参考としてリンクを紹介させて頂きます。

「脳神経外科の病気：神経・血管圧迫症候群」徳洲会グループのHPより
https://www.tokushukai.or.jp/treatment/neurosurgery/shinkei-kekkan-appakusyokogun.php

また、顔面神経や三叉神経などに含まれる自律神経は、
ロボットの各部位を連動制御する配線のように
各感覚器や脳を相互に接続することでネットワークを形成し、
スムーズな連動を実現しています。

そのため、過敏な人は感覚器が受信した信号が
脳だけでなく別の感覚器や臓器に影響を与えることもあります。

血管についても血管の異常検知や収縮・拡張などの調整機能のために、
神経が接続されています。
そのため血管の変化を知覚した信号が、他の部位に影響を与えることもあり、
片頭痛などの一因になっています。

「片頭痛の原因としくみ」横浜脳神経内科HPより
https://neuroassociates.jp/research/mechanism/